सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित

इस अनुभाग में, हम सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित वर्णन करेंगे।

दो सम्मिश्र संख्याओं का योग

मान लीजिए कि $z_{1}=a+ib$ और $z_{2}=c+id$ कोई दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं। फिर योग $z_{1}+z_{2}$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$z_{1}+z_{2}=(a+c)+i(b+d)$ जो कि एक सम्मिश्र संख्या भी है।

उदाहरण: मान लीजिए $z_{1}=2+i3$ और $z_{2}=-6+i5$ । अत: $z_{1}+z_{2}=(2-6)+i(3+5)=-4+i8$

सम्मिश्र संख्याओं का योग निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

संवरक नियम

दो सम्मिश्र संख्याओं का योग एक सम्मिश्र संख्या होती है। $z_{1}+z_{2}$ सभी सम्मिश्र संख्याओं $z_{1}$ और $z_{2}$ के लिए एक सम्मिश्र संख्या है।

क्रम विनिमय नियम

किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_{1}$ और $z_{2}$ के लिए, $z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}$

साहचर्य नियम

किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं $z_{1},z_{2},z_{3}$ , $(z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3})$

योगात्मक तत्समक का अस्तित्व

सम्मिश्र संख्या $0+i0$ ( $0$ के रूप में चिह्नित) मौजूद है, जिसे योगात्मक तत्समक या शून्य सम्मिश्र संख्या कहा जाता है, जैसे कि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए $z+0=z$

योगात्मक प्रतिलोम का अस्तित्व

प्रत्येक सम्मिश्र संख्या $z=a+ib$ के लिए, हमारे पास सम्मिश्र संख्या $-z=-a+i(-b)$ होती है जिसे $z$ का योगात्मक प्रतिलोम या ऋणात्मक कहा जाता है। हम देखते हैं कि $z+(-z)=0$ (योगात्मक तत्समक)।

दो सम्मिश्र संख्याओं का अंतर

किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_{1},z_{2}$ को देखते हुए अंतर $z_{1}-z_{2}$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$z_{1}-z_{2}=z_{1}+(-z_{2})$

उदाहरण: $(6+3i)-(2-i)=(6+3i)+(-2+i)=4+4i$

दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणन

मान लीजिए कि $z_{1}=a+ib$ और $z_{2}=c+id$ कोई दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं। तब गुणनफल $z_{1}z_{2}$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$z_{1}z_{2}=(a+ib)\times (c+id)$

$z_{1}z_{2}=a\times (c+id)+ib\times (c+id)$

$z_{1}z_{2}=ac+iad+ibc+i^{2}bd$

$z_{1}z_{2}=ac+i(ad+bc)+-1\times bd.......(i^{2}=-1)$

$z_{1}z_{2}=(ac-bd)+i(ad+bc)$

सम्मिश्र संख्याओं का गुणन निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

संवरक नियम

दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल एक सम्मिश्र संख्या होती है। $z_{1}z_{2}$ सभी सम्मिश्र संख्याओं $z_{1}$ और $z_{2}$ के लिए एक सम्मिश्र संख्या है।

क्रम विनिमय नियम

किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं के लिए $z_{1}$ और $z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}$

साहचर्य नियम

किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं के लिए $z_{1},z_{2},z_{3}$ , $(z_{1}z_{2})z_{3}=z_{1}(z_{2}z_{3})$

गुणात्मक तत्समक का अस्तित्व

वहाँ सम्मिश्र संख्या $1+i0$ ( $1$ के रूप में चिह्नित) मौजूद है जिसे गुणात्मक तत्समक कहा जाता है, जैसे कि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए, $z\times 1=z$

गुणात्मक प्रतिलोम का अस्तित्व

प्रत्येक गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या $z=a+ib$ $(a\neq 0,b\neq 0)$ , के लिए हमारे पास सम्मिश्र संख्या ${\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}+i{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}$ ( ${\frac {1}{z}}$ या $z^{-1}$ के रूप में चिह्नित) $z$ का गुणनात्मक प्रतिलोम इस प्रकार कहा जाता है कि $z\times {\frac {1}{z}}=1$ (गुणात्मक तत्समक)।