दो कोणों के योग और अंतर का त्रिकोणमितीय फलन
त्रिकोणमिति फलन
त्रिकोणमिति फलन को त्रिभुज के कोण के फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है, अर्थात कोणों और त्रिभुजों के बीच संबंध त्रिकोणमितीय फलनद्वारा प्राप्त किया जाता है। इसे वृत्ताकार फलन के रूप में भी जाना जाता है। कुछ बुनियादी त्रिकोणमिति फलन साइन, कोसाइन, कोसेकेंट, टेंगेंट, सेकेंट और कोटैंगेंट हैं। इन बुनियादी फलनों को त्रिकोणमिति अनुपात के रूप में भी जाना जाता है।
ये फलन त्रिकोणमितीय अनुपात हैं। छह बुनियादी त्रिकोणमितीय फलन साइन फलन, कोसाइन फलन, सेकेंट फलन, सह-सेकेंट फलन, स्पर्शज्या फलन और सह-स्पर्शज्या फलन हैं। त्रिकोणमितीय फलन और पहचान समकोण त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात हैं। समकोण त्रिभुज की भुजाएँ लंबवत भुजा, कर्ण और आधार हैं, जिनका उपयोग त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके साइन, कोसाइन, स्पर्शज्या, सेकेंट, कोसेकेंट और कोटैंजेंट मानों की गणना करने के लिए किया जाता है।
त्रिकोणमिति फलनों में कोणों का योग और अंतर
आप पहाड़ की ऊंचाई कैसे माप सकते हैं? आप पृथ्वी और सूर्य के बीच की दूरी की गणना कैसे करेंगे? कई असंभव समस्याएं हैं, हम उत्तरों की गणना करने के लिए गणितीय सूत्रों पर निर्भर हैं। त्रिकोणमिति पहचान जो साधारणतः गणितीय प्रमाण में उपयोग की जाती हैं, उनका उपयोग लंबी दूरी की गणना करने के लिए भी किया जाता है।
इस लेख में, हम जटिल समस्याओं को हल करने की तकनीक सीखेंगे जैसे कि ऊपर दी गई समस्या। कोणों के योग और अंतर के त्रिकोणमिति फलन सूत्र जो हम लागू करेंगे, वे कई त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों और समीकरणों को सरल बनाएंगे।
त्रिकोणमिति में निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग इस लेख में त्रिकोणमिति फलनों में कोणों के योग और अंतर के बीच संबंध स्थापित करने के लिए किया जाएगा
कई त्रिकोणमिति सूत्र और पहचान हैं जो फलनों के बीच संबंध को दर्शाते हैं और उन्हें त्रिभुज के अज्ञात कोण को खोजने में सक्षम बनाते हैं।
त्रिकोणमिति फलनों में कोणों के योग और अंतर के बीच संबंध
त्रिकोणमिति फलनों में कोणों के योग और अंतर का उपयोग किसी भी कोण के कार्यात्मक मानों का पता लगाने के लिए किया जाता है। हालाँकि, इसका सबसे व्यावहारिक उपयोग किसी कोण के सटीक मानों का पता लगाना है जिसे 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° और 360° के साइन, कोसाइन और टेंगेंट के सबसे परिचित मानों का उपयोग करके योग या अंतर के रूप में लिखा जा सकता है।
त्रिकोणमिति कोणों के योग और अंतर के सूत्र
कोणों के योग और अंतर के त्रिकोणमितीय फलन
निम्न चित्र की जाँच करें:
एक वृत्त का निर्माण किया गया है, जिसका केंद्र मूल बिन्दु और त्रिज्या 1 इकाई है। x-अक्ष से x इकाई के कोण पर एक बिंदु P₁ चुना गया है। वृत्त के निर्देशांक ऊपर दिए गए चित्र में दिए गए हैं। रेखाखंड OP₁ से y इकाई के कोण पर एक और बिंदु P₂ चुना गया है। P₃ वृत्त पर एक और बिंदु है जो दक्षिणावर्त दिशा में मापी गई x-अक्ष से y इकाई के कोण पर स्थित है।
अब ऊपर दी गई आकृति में, SAS सर्वांगसमता मानदंड के माध्यम से ▴ OP₁P₃ ≅ OP₂OP₄।
जैसा कि हम उपरोक्त चित्र में दिए गए सभी 4 बिंदुओं के निर्देशांक जानते हैं, दूरी सूत्र के माध्यम से हम लिख सकते हैं:
Cosx−cos(−y)
2 + [sin x- sin (-y)] 2 = 1−cos(x+y
2 + sin2 (x + y)
उपर्युक्त समीकरण को हल करने के बाद, हमें निम्नलिखित पहचान मिली।
Cos (x+y) = cosx cosy -sinx siny…. (1)
पहचान 1 में y को –y से प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है,
Cos (x-y) = cosx cosy +sinx siny…….(2)
साथ ही,
Cos (π/2 – x) = sin x……………(3)
पहचान 2 में x को π/2 से और y को x से प्रतिस्थापित करने पर हमें मिलता है,
Sin (π/2 – x) = cos x………..(4)
चूँकि sin (Cos (π/2 – x) = sin x
चूँकि, sin (π/2 – x) = cos (π/2 – (π/2-x)] (पहचान 3 का उपयोग करके)। हमें मिलता है,
Sin (π/2-x) = cos x
अब, हम cos के कोण के योग और अंतर के विस्तारित रूप से अवगत हैं। अब, हम sin के कोण के योग और अंतर के मानों को खोजने के लिए उपरोक्त अवधारणा का उपयोग करेंगे।
Sin(x +y) को cos [π/2 –(x + y)] के रूप में लिखा जा सकता है जो cos (π/2−x)−y के बराबर है
अब, पहचान (2) की मदद से, हम लिख सकते हैं
Cos [180/2 –x)-y)] = cos (π/2- x) cosy + sin [π/2 –x) siny
= sin x cos y + cos x sin y
इसलिए,
Sin (x+y) = sinx cosy + cosx siny………..(5)
अब यदि हम उपरोक्त सूत्र में y के स्थान पर – y रखें, तो हमें प्राप्त होता है
Sin (x- y) = sinx cosy - cosx siny………..(6)
अब यदि हम उपरोक्त पहचानों (1), (2), (5) और (6) में उपयुक्त मान रखें, तो हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होगा:
Cos (π/2 + x) = - sinx
Sin (π/2 + x)= cos x
Cos (π ±) x) = -cos x
Sin (π - x) = sinx
Sin (π + x) = - sinx
Sin (2π - x) = - sinx
Cos (2π - x)= cos x
sin और cos के कोणों के योग और अंतर के त्रिकोणमितीय कार्यों के विस्तारित रूप को समझने के बाद, tan और cot का विस्तार प्राप्त होता है द्वारा, Tan(α + A) = (tan α + tan A)/ (1-tan α tan A) Tan(α - A) = (tan α - tan A)/ (1+ tan α tan A) इसी प्रकार, हमें निम्नलिखित Cot (α + A) = (cot α cot A -1 )/ (cot A + cot α) Cot α - A) = (cot α cot A+ 1 )/ मिलता है। cot A - cot α) हल किए गए उदाहरण 1. सिद्ध करें कि cos (30 + Ѳ) = 3–√ / 2 cos Ѳ - syn Ѳ /2 सूत्र का उपयोग करके, Cos (Ѳ + A) = cos Ѳ cos A - syn Ѳ syn A, और उपरोक्त 30° - 60° की सहायता से सिद्ध करें कोण,
हम सबसे पहले समीकरण के बाएँ हाथ की ओर (LHS) को हल करेंगे,
LHS = Cos(30° + Ѳ)
= Cos 30° cos Ѳ - sin 30° sin Ѳ
= 3–√
/2 cos Ѳ - ½ sin Ѳ
LHS = RHS
इस प्रकार सिद्ध हुआ
2. दर्शाइए कि cos(π /2 + Ѳ) = -sin Ѳ
समाधान: जैसा कि हम जानते हैं,
Cos ( Ѳ + A) = cos Ѳ cos A - sin Ѳ sin A
cos(π /2 + Ѳ) = cos π/2 cos Ѳ- sin π/2 sin Ѳ
= 0 * cos Ѳ -1 * sin Ѳ
= - sin Ѳ
LHS = RHS
इस प्रकार, सिद्ध हुआ
