दो कोणों के योग और अंतर का त्रिकोणमितीय फलन

त्रिकोणमिति फलन को त्रिभुज के कोण के फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है, अर्थात कोणों और त्रिभुजों के बीच संबंध त्रिकोणमितीय फलन द्वारा प्राप्त किया जाता है। इसे वृत्ताकार फलन के रूप में भी जाना जाता है।

ये फलन त्रिकोणमितीय अनुपात हैं। छह बुनियादी त्रिकोणमितीय फलन साइन फलन, कोसाइन फलन, सेकेंट फलन, सह-सेकेंट फलन, स्पर्शज्या फलन और सह-स्पर्शज्या फलन हैं। त्रिकोणमितीय फलन और पहचान समकोण त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात हैं। समकोण त्रिभुज की भुजाएँ लंबवत भुजा, कर्ण और आधार हैं, जिनका उपयोग त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके साइन, कोसाइन, स्पर्शज्या, सेकेंट, कोसेकेंट और कोटैंजेंट मानों की गणना करने के लिए किया जाता है।

त्रिकोणमिति फलनों में कोणों का योग और अंतर

आप पहाड़ की ऊंचाई कैसे माप सकते हैं? आप पृथ्वी और सूर्य के बीच की दूरी की गणना कैसे करेंगे? कई असंभव समस्याएं हैं, हम उत्तरों की गणना करने के लिए गणितीय सूत्रों पर निर्भर हैं। त्रिकोणमिति पहचान जो साधारणतः गणितीय प्रमाण में उपयोग की जाती हैं, उनका उपयोग लंबी दूरी की गणना करने के लिए भी किया जाता है।

इस लेख में, हम जटिल समस्याओं को हल करने की तकनीक सीखेंगे जैसे कि ऊपर दी गई समस्या। कोणों के योग और अंर के त्रिकोणमिति फलन सूत्र जो हम लागू करेंगे, वे कई त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों और समीकरणों को सरल बनाएंगे।

त्रिकोणमिति में निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग इस लेख में त्रिकोणमिति फलनों में कोणों के योग और अंतर के बीच संबंध स्थापित करने के लिए किया जाएगा

$cos(-x)=cos$

$sin(-x)=sin$

कई त्रिकोणमिति सूत्र और पहचान हैं जो फलनों के बीच संबंध को दर्शाते हैं और उन्हें त्रिभुज के अज्ञात कोण को खोजने में सक्षम बनाते हैं।

त्रिकोणमिति फलनों में कोणों के योग और अंतर के बीच संबंध

त्रिकोणमिति फलनों में कोणों के योग और अंतर का उपयोग किसी भी कोण के कार्यात्मक मानों का पता लगाने के लिए किया जाता है। हालाँकि, इसका सबसे व्यावहारिक उपयोग किसी कोण के सटीक मानों का पता लगाना है जिसे $30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ },90^{\circ },180^{\circ },270^{\circ }$और $360^{\circ }$ के साइन, कोसाइन और टैंजेंट के सबसे परिचित मानों का उपयोग करके योग या अंतर के रूप में लिखा जा सकता है।

त्रिकोणमिति कोणों के योग और अंतर के सूत्र

चित्र त्रिकोणमिति फलनों में कोणों का योग और अंतर

त्रिकोणमितीय फलन सर्वसमिकाएँ

त्रिकोणमितीय फलन सर्वसमिकाओं को मोटे तौर पर पारस्परिक सर्वसमिकाएँ , पाइथागोरस सूत्र, त्रिकोणमितीय फलन सर्वसमिकाएँ का योग और अंतर, गुणक और उप-गुणक कोणों के लिए सूत्र, सर्वसमिकाओं के योग और गुणनफल में विभाजित किया जाता है। नीचे दिए गए सभी सूत्र समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात का उपयोग करके आसानी से निकाले जा सकते हैं। उच्चतर सूत्र मूल त्रिकोणमितीय फलन सूत्रों का उपयोग करके निकाले जा सकते हैं। त्रिकोणमितीय समस्याओं को सरल बनाने के लिए पारस्परिक सर्वसमिकाओं का प्रायः उपयोग किया जाता है।

व्युत्क्रम सर्वसमिकाएँ

• $cosec\theta ={\frac {1}{sin\theta }}$
• $sec\theta ={\frac {1}{cos\theta }}$
• $cot\theta ={\frac {1}{tan\theta }}$
• $sin\theta ={\frac {1}{cosec\theta }}$
• $cos\theta ={\frac {1}{sec\theta }}$
• $tan\theta ={\frac {1}{cot\theta }}$

पायथागॉरियन सर्वसमिकाएँ

• $sin^{2}\theta +cos^{2}\theta =1$
• $1+tan^{2}\theta =sec^{2}\theta$
• $1+cot^{2}\theta =cosec^{2}\theta$

योग और अंतर सर्वसमिकाएँ

• $sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)$
• $cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)$
• $tan(x+y)={\frac {(tanx+tany)}{(1-tanx\cdot tany)}}$
• $sin(x-y)=sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y)$
• $cos(x-y)=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)$
• $tan(x-y)={\frac {(tanx-tany)}{(1+tanx\cdot tany)}}$

अर्ध-कोण सर्वसमिकाएँ

• $sin{\frac {A}{2}}=\pm {\sqrt {{\Bigl (}{\frac {(1-cosA)}{2}}{\Bigr )}}}$
• $cos{\frac {A}{2}}=\pm {\sqrt {{\Bigl (}{\frac {(1+cosA)}{2}}{\Bigr )}}}$
• $tanA/2=\pm {\sqrt {\frac {(1-cosA)}{(1+cosA)}}}(or)$ ${\frac {sinA}{(1+cosA)}}(or){\frac {(1-cosA)}{sinA}}$

द्विकोण सर्वसमिकाएँ

• $sin(2x)=2sin(x)cos(x)={\Bigl (}{\frac {2tanx}{(1+tan^{2}x)}}{\Bigr )}$
• $cos(2x)=cos^{2}(x)-sin^{2}(x)={\Bigl (}{\frac {(1-tan^{2}x)}{(1+tan^{2}x)}}{\Bigr )}$
• $cos(2x)=2cos^{2}(x)-1=1-2sin^{2}(x)$
• $tan(2x)={\frac {[2tan(x)]}{[1-tan^{2}(x)]}}$
• $cot(2x)={\frac {[cot^{2}(x)-1]}{[2cot(x)]}}$
• $sec(2x)={\frac {sec^{2}x}{(2-sec^{2}x)}}$
• $cosec(2x)={\frac {(secx.cosecx)}{2}}$

त्रिकोण सर्वसमिकाएँ

• $sin3x=3sinx-4{sin}^{3}x$
• $cos3x=4cos^{3}x-3cosx$
• $tan3x={\frac {[3tanx-tan^{3}x]}{[1-3tan^{2}x]}}$

गुणनफल सर्वसमिकाएँ

• $2sinx\cdot cosy=sin(x+y)+sin(x-y)$
• $2cosx\cdot cosy=cos(x+y)+cos(x-y)$
• $2sinx\cdot siny=cos(x-y)-cos(x+y)$

सर्वसमिकाओं का योग

• $sinx+siny=2sin{\Bigl (}{\frac {(x+y)}{2}}{\Bigr )}\cdot {\Bigl (}cos{\frac {(x-y)}{2}}{\Bigr )}$
• $sinx-siny=2cos{\Bigl (}{\frac {(x+y)}{2}}{\Bigr )}\cdot sin{\Bigl (}{\frac {(x-y)}{2}}{\Bigr )}$
• $cosx+cosy=2cos{\Bigl (}{\frac {(x+y)}{2}}{\Bigr )}\cdot cos{\Bigl (}{\frac {(x-y)}{2}}{\Bigr )}$
• $cosx-cosy=-2sin{\Bigl (}{\frac {(x+y)}{2}}{\Bigr )}\cdot sin{\Bigl (}{\frac {(x-y)}{2}}{\Bigr )}$

उदाहरण

1.   सिद्ध करिए $cos(30+\theta )={\frac {\sqrt {3}}{2}}cos\theta -{\frac {sin\theta }{2}}$

समाधान: सूत्र का उपयोग करते हुए,

$cos(\theta +A)=cos\theta cosA-sin\theta sinA$, और उपरोक्त की सहायता से $30^{\circ }-60^{\circ }$कोण,

हम सबसे पहले समीकरण के बाएँ पक्ष (LHS) को हल करेंगे,

$LHS=cos(30^{\circ }+\theta )$

$=cos30^{\circ }cos\theta -sin30^{\circ }sin\theta$

$={\frac {\sqrt {3}}{2}}cos\theta -{\frac {1}{2}}sin\theta$

$LHS=RHS$

अतः सिद्ध हुआ

2.  सिद्ध कीजिए $cos({\frac {\pi }{2}}+\theta )=-sin\theta$

समाधान: जैसा कि हम जानते हैं,

$cos(\theta +A)=cos\theta cosA-sin\theta sinA$

$cos({\frac {\pi }{2}}+\theta )=cos{\frac {\pi }{2}}cos\theta -sin{\frac {\pi }{2}}sin\theta$

$=0\times cos\theta -1\times sin\theta$

$=-sin\theta$

$LHS=RHS$

अतः सिद्ध हुआ