एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण

चिरप्रतिष्ठित गणित, विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, रेखा और समतल के बीच का कोण, रेखा और अभिलंब के बीच के कोण के पूरक के बराबर होता है। $2D$ ज्यामिति पर इस विषय के अंतर्गत, आइए सबसे पहले एक सरल रेखा और समतल को परिभाषित करें और जानें कि रेखा और समतल के बीच का कोण कैसे निर्धारित किया जाता है।

सरल रेखा

सरल रेखा की परिभाषा

वास्तविक जीवन में सरल रेखाएँ कहाँ मिलती हैं? एक पेंसिल, कलम, सरल सड़क; रूलर का किनारा, इमारत, घड़ियों की सुइयाँ, आदि इसके कुछ उदाहरण हैं। सरल रेखा एक सरल $2D$ ज्यामितीय आकृति है जिसमें बिंदुओं का एक समूह होता है जिसकी कोई चौड़ाई नहीं होती। यह बिना किसी अंत बिंदु के दोनों दिशाओं में फैली होती है और इसमें केवल लंबाई होती है। और, इसलिए एक रेखा की लंबाई अनंत होती है और इसकी कोई ऊँचाई या चौड़ाई नहीं होती है, जो इसे 2-D ज्यामिति का हिस्सा बनाती है।

रेखाएँ समानांतर, लंबवत, प्रतिच्छेद करने वाली या समवर्ती हो सकती हैं।

समतल की परिभाषा

समतल भी एक $2D$ ज्यामितीय सतह है जिसमें कोई मोटाई नहीं होती है, बल्कि केवल लंबाई और चौड़ाई होती है। एक समतल तब बनता है जब अनंत संख्या में बिंदु किसी भी दिक् में अनंत रूप से विस्तारित होकर एक सपाट सतह बनाते हैं।

ज्यामिति में, एक समतल तब प्राप्त होता है जब रेखाओं का एक समूह एक दूसरे के समीप व्यवस्थित होता है। अगर हम समतल कागज़ पर कुछ बनाते हैं, तो इसका मतलब है कि हम समतल पर कुछ बना रहे हैं।

रेखा और समतल के बीच का कोण

रेखा और समतल के बीच का कोण

जबकि समतल एक द्वि-आयामी सतह है जिसे लंबाई और चौड़ाई के संदर्भ में मापा जाता है, सरल रेखा का एक आयाम होता है जिसे लंबाई के संदर्भ में मापा जाता है। एक रेखा संपर्क बिंदु पर समतल के साथ एक कोण बनाती है जब वह रेखा समतल पर आपतित होती है जिसे रेखा और समतल के बीच का कोण कहा जाता है। सरल शब्दों में, इसे रेखा और इस समतल पर इसके प्रक्षेपण के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

अंतरिक्ष में रेखा $L$ के इस दिक् सदिश पर विचार करें, ${\bar {s}}=\langle l;m;n\rangle$, जहां $l,m$ और $n,$ $s$सदिश के $x,y$ और $z$ घटकों को दर्शाते हैं, और समतल का समीकरण $Ax+By+Cz+D=0$ है तो इस रेखा और समतल के बीच का कोण इस सूत्र $sin\phi ={\frac {|A\cdot l+B\cdot m+C\cdot n|}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}\cdot {\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}}$ का उपयोग करके पाया जा सकता है

उदाहरण

उदाहरण:

यदि रेखा ${\frac {x+1}{1}}={\frac {y-1}{2}}={\frac {z-2}{2}}$ और समतल $2x-y+{\sqrt {\lambda z}}+4=0$ के बीच का कोण $\theta$ ऐसा है कि $sin\theta ={\frac {1}{3}}$ है, तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान :

दिया गया है: रेखा के सममित समीकरण $={\frac {x+1}{1}}={\frac {y-1}{2}}={\frac {z-2}{2}}$

इसकी तुलना समीकरण ${\frac {x+x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}={\frac {z-z_{0}}{n}}$ से करें

अतः, रेखा के लिए, $\langle l;m;n\rangle =\langle 1;2;2\rangle$

रेखा और समतल के बीच का कोण है:

$sin(\theta )={\frac {2-2+2{\sqrt {\lambda }}}{3\times {\sqrt {5+\lambda }}}},$ जहाँ $\theta$ रेखा और समतल के बीच का कोण है

$\Rightarrow sin\theta ={\frac {2{\sqrt {\lambda }}}{3{\sqrt {5+\lambda }}}}={\frac {1}{3}}$

$\Rightarrow 4\lambda =5+\lambda$

$\Rightarrow \lambda ={\frac {5}{3}}$

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

• समतल और रेखा के बीच के कोण को रेखा और समतल पर उसके प्रक्षेपण के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
• सरल रेखाएँ समानांतर, लंबवत या प्रतिच्छेद करने वाली हो सकती हैं