द्वैध उपयोग से दो अंकों की संख्याओं का वर्ग - भारती कृष्ण तीर्थ

इस अध्याय में, हम किसी भी यादृच्छिक संख्या का वर्ग ज्ञात करना सीखेंगे। संख्याओं का वर्ग ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित का उपयोग करेंगे।

"द्वन्द्व योग"

"द्वैध संयोजन प्रक्रिया"

द्वैध

'डुप्लेक्स' शब्द का प्रयोग दो भिन्न अर्थों में प्रयोग किया जाता है; वर्ग करने के लिए और गुणन के लिए। और वर्तमान सूत्र के लिए, यह दोनों अर्थों में प्रयोग किया जाएगा। यदि हमारे पास एक एकल या केंद्रीय अंक है, तो 'डुप्लेक्स' का अर्थ उस अंक (a²) का वर्ग करना है। दूसरे, इसका प्रयोग सम अंकों की संख्याओं के लिए या समदूरस्थ अंकों वाली संख्याओं पर किया जा सकता है, तो 'द्वैध' का अर्थ समदूरस्थ संख्याओं(2ab) का दुगुना या वज्र गुणन करना है। आइए इसे और समझने के लिए कुछ उदाहरण देखें। हम डुप्लेक्स को प्रतीक 'D' द्वारा निरूपित करते हैं।

1. किसी एक अंक की संख्या का द्वैध उसका वर्ग होता है।

D (4) = 4² = 16; D (7) = 7² = 49; D (6) = 6² = 36

2. दो अंकों की संख्या का द्वैध दोनों संख्याओं के गुणनफल के दोगुने के बराबर होता है, जैसा कि नीचे चित्र में दिखाया गया है।

File:Duplex two digits.png

द्वैध-दो अंकीय

D (3 2) = 2 (3 X 2) = 12

D (4 5) = 2 (4 X 5) = 40

D (8 0) = 2 (8 X 0) = 0   

3. एक त्रि-अंकीय संख्या का द्वैध पहले और अंतिम अंक के गुणनफल के दोगुने + मध्य अंक का वर्ग के बराबर होता है, जैसा कि नीचे चित्र में दिखाया गया है।

तीन अंकों की संख्या के लिए, हम पहले और अंतिम अंक की जोड़ी बनाते हैं और इसे दो अंकों की संख्या के रूप में लेते हैं और मध्य अंक को एक अंक की संख्या के रूप में लेते हैं। उनके द्वैध खोजें और उन्हें जोड़ें।

File:Duplex three digits.png

द्वैध-तीन अंकीय

D (1 3 5 ) = 2(1 X 5) + 3² = 10 + 9 = 19

D (4 0 7) = 2(4 X 7) + 0² = 56 + 0 = 56

D (2 1 3) = 2(2 X 3) + 1² = 12 + 1 = 13

4. चार अंकों की संख्या का द्वैध, पहले और अंतिम अंक के गुणनफल का दुगुना + दूसरे और तीसरे अंक के गुणनफल, का दुगुना होता है। जैसा कि नीचे चित्र में दिखाया गया है।

File:Duplex four digits.png

द्वैध चार अंकीय

D (1 2 3 4) = 2(1 X 4) + 2(2 X 3) = 8 + 12 = 20

D (4 2 5 7) = 2(4 X 7) + 2(2 X 5) = 56 + 20 = 76

D (3 9 1 5) = 2(3 X 5) + 2(9 X 1) = 30 + 18 = 48

5. पांच अंकों की संख्या का द्वैध, पहले और अंतिम अंक के गुणनफल का दुगुना + दूसरे और चौथे अंक के गुणनफल का दुगुना + तीसरे अंक का वर्ग, होता है। जैसा कि नीचे चित्र में दिखाया गया है।

D (1 2 3 4 5) = 2(1 X 5) + 2(2 X 4) + 3² = 10 + 16 + 9 = 35

D (4 2 5 7 8) = 2(4 X 8) + 2(2 X 7) + 5² = 64+ 28 + 25 = 117

D (3 9 1 5 6) = 2(3 X 6) + 2(9 X 5) + 1² = 36 + 90 + 1 = 127

नीचे दिए गए चित्र में बड़ी संख्या के जोड़े बनाने की विधि को दिखाया गया है।

File:Duplex six digits.png

द्वैध छह अंकीय

File:Duplex seven digits.png

द्वैध सात अंकीय

द्वैध का उपयोग करके किसी भी संख्या का वर्ग

किसी भी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए, हम "द्वन्द्व योग" का उपयोग करते हैं जिसमें "उर्ध्वतिर्यग्भ्याम" का उपयोग किया जाता है।

द्वन्द्व योग "द्वन्द्व योग" "द्वैध संयोजन प्रक्रिया"

+

ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् "ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम्" " ऊर्ध्वाधर और अनुप्रस्थ/आड़े "

विस्तृत प्रकीयाओं को नीचे दिए गए उदाहरणों के माध्यम से समझाया जाएगा।

दो अंकों की संख्या का वर्ग

उदाहरण: 23²

यह दो अंकों की संख्या है। दायीं ओर से प्रारंभ करने पर हमें तीन भागों में उत्तर मिलते हैं।

Left Hand Side (LHS)	Middle	Right Hand Side (RHS)
सबसे बाएँ अंक का द्वैध (2) D(2) = 22 = 4	23 के दोनों अंको का द्वैध D(23) = 2(2 X 3) = 12	सबसे दायें अंक का द्वैध (3) D(3) = 32 = 9
4	12	9
4	2 रखें और 1 को आगे स्थानांतरित करें	9
4 + 1 को आगे स्थानांतरित करें	2	9
5	2	9

उत्तर : 232 = 529

उदाहरण: 67²

Left Hand Side (LHS)	Middle	Right Hand Side (RHS)
सबसे बाएं अंक का द्वैध (6) D(6) = 62 = 36	67 के दोनों अंको का द्वैध D(67) = 2(6 X 7) = 84	सबसे दाहिने अंक का द्वैध (7) D(7) = 72 = 49
36	84	49
36	84	9 रखें और 4 को आगे स्थानांतरित करें
36	84 + 4 को आगे स्थानांतरित करें	9
36	88	9
36	8 रखें और 8 को आगे स्थानांतरित करें	9
36 + 8 को आगे स्थानांतरित करें	8	9
44	8	9

उत्तर : 67² = 4489

यह भी देखें

Squares of two digit numbers using Duplex by Bhārati Kṛṣṇa Tīrtha