परिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ

जैसा कि हमें नाम से ही स्पष्ट है, ऐसी समांतर श्रेढ़ीयाँ जिसमे परिमित अर्थात सीमित पद होते हैं, उन्हें हम परिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहते हैं । अंकगणितीय श्रेढ़ीयों के एक सीमित भाग को परिमित अंकगणितीय श्रेढ़ीयों के अंतर्गत रखा जाता है । एक परिमित समांतर श्रेढ़ी में अंतिम पद सदैव होता है ।

उदाहरण

1. $5,7,9,11,13,15$
2. $6,12,18,24,30,36$

उपर्युक्त उदाहरणो में समांतर श्रेढ़ीयों का प्रथम पद क्रमशः $5$ तथा $6$ एवं सार्व अंतर $2$ तथा $6$ है ,तथा इन श्रेढ़ीयों में सीमित अर्थात परिमित पद है, इसलिए इन श्रेढ़ीयों को हम परिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहेंगे ।

परिमित समांतर श्रेढ़ीयों के योग के लिए सूत्र

परिमित समांतर श्रेढ़ीयों के योग के लिए सूत्र निम्नवत है

$S_{n}={\frac {n}{2}}(a+l)$

$S_{n}=$ परिमित समांतर श्रेढ़ी के पदों का योग

$a=$ पहला पद

$l=$ अंतिम पद

$n=$ पदों की संख्या

उदाहरण 1

परिमित समांतर श्रेढ़ी का योग ज्ञात करें $5,18,31,44,57,70$

हल

पहला पद $a=5$

अंतिम पद $l=70$

पदों की संख्या $n=6$

परिमित समांतर श्रेढ़ीयों के सूत्र द्वारा ,

$S_{n}={\frac {n}{2}}(a+l)$

$S_{n}={\frac {6}{2}}(5+70)$

$S_{n}=3(5+70)$

$S_{n}=3(75)$

$S_{n}=225$

अतः , उपर्युक्त परिमित समांतर श्रेढ़ी का योग $225$ है ।

उदाहरण 2

प्रथम $500$ धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए ।

हल

प्रथम $500$ धनात्मक पूर्णांक है $1,2,3,4,5,6,7,.......,500$

प्रथम $500$ धनात्मक पूर्णांकों का योग होगा $1+2+3+4+5+6+7+.......+500$

पहला पद $a=1$

अंतिम पद $l=500$

पदों की संख्या $n=500$

परिमित समांतर श्रेढ़ीयों के सूत्र द्वारा ,

$S_{n}={\frac {n}{2}}(a+l)$

$S_{n}={\frac {500}{2}}(1+500)$

$S_{n}=250(1+500)$

$S_{n}=250(501)$

$S_{n}=125250$

अतः , प्रथम $500$ धनात्मक पूर्णांकों का योग $125250$ है ।

अभ्यास प्रश्न

1. किसी परिमित समांतर श्रेढ़ी का योग $220$ है , तथा उसका पहला पद $5$ और अंतिम पद $105$ है, उस परिमित समांतर श्रेढ़ी में पदों की संख्या ज्ञात करें ?
2. प्रथम $n$ धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए ।