प्रथम कोटि एवं प्रथम घात के अवकल समीकरणों को हल करने की विधियाँ

प्रथम कोटी अवकल समीकरण एक अवकल समीकरण है जहाँ अवकलज का अधिकतम कोटी एक होता है और इस समीकरण में कोई अन्य उच्च-कोटी अवकलज नहीं दिखाई दे सकता है। प्रथम-कोटी अवकल समीकरण साधारणतः $F(x,y,y')=0$ के रूप का होता है, जहाँ $y$ एक आश्रित चर है और $x$ एक स्वतंत्र चर है और $y'$ अवकल समीकरण में स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। इसे $F(t,f(t),f'(t))=0$ के रूप में भी लिखा जा सकता है, जहाँ $f(t)$अवकल समीकरण का हल है। एक रैखिक प्रथम कोटी अवकल समीकरण एक अवकल समीकरण है जिसका अवकलज कोटी एक है और समीकरण की घात भी एक है।

इस लेख में, हम प्रथम कोटी अवकल समीकरणों की अवधारणा, उनके हल ज्ञात करने के उपाय, प्रथम कोटी प्रारंभिक मान समस्या अवकल समीकरणों और उनके अनुप्रयोगों का पता लगाएंगे। हम अवधारणा की बेहतर समझ के लिए कुछ उदाहरण हल करेंगे।

परिभाषा

एक प्रथम कोटी अवकल समीकरण को साधारणतः $F(x,y,y')=0$ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ $y'$ प्रथम-कोटी अवकलज है और समीकरण में स्पष्ट रूप से दिखाई देता है, $x$ एक स्वतंत्र चर है और $y,\ x$का एक फ़ंक्शन है। हम कहते हैं कि फ़ंक्शन $f(t)$ प्रथम कोटी अवकल समीकरण$F(t,f(t),f'(t))=0$ का हल है, $t$ के सभी मानों के लिए। प्रथम-कोटी अवकल समीकरण का एक वास्तविक जीवन उदाहरण न्यूटन के शीतलन नियम का समीकरण है, जो $y'=k(M-y)$ द्वारा दिया गया है और इसे $F(t,y,y')=k(M-y)-y'$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। आइए प्रथम कोटी के अवकल समीकरणों के कुछ अन्य उदाहरण देखें:

• $y'=t^{2}+1\Rightarrow F(t,y,y')=t^{2}+1-y'$
• $y'=2(25-y)\Rightarrow F(t,y,y')=2(25-y)-y'$
• $mv'(t)=-mg\Rightarrow F(t,v,v')=-mg-mv'(t)$

प्रथम कोटी प्रथम घात अवकल समीकरण

प्रथम कोटी , प्रथम घात अवकल समीकरण एक अवकल समीकरण है जिसमें प्रथम-कोटी अवकलज उपस्थित होता है तथा इस समीकरण में कोई अन्य उच्चतर-कोटी अवकलज नहीं आ सकता है तथा अवकलज की घात एक होती है।

रैखिक प्रथम कोटी अवकल समीकरण

रैखिक प्रथम कोटी अवकल समीकरण $y'+yP(x)=Q(x)$ या $dy/dx+yP(x)=Q(x)$ के रूप का होता है, जहाँ $y,P,Q,x$ के फलन हैं, और$y',y$ का प्रथम-कोटी अवकलज है। ऐसे अवकल समीकरणों में अवकलज की घात एक के बराबर होती है, इसीलिए इसे रैखिक प्रथम कोटी अवकल समीकरण कहा जाता है। हम ऐसे समीकरणों को समाकलन कारकों की विधि का उपयोग करके हल कर सकते हैं।

हल प्रथम कोटी अवकल समीकरण

अब, हम विभिन्न तरीकों जैसे चरों को अलग करना, कारक विधि को समाकलन करना, मापदंडों की भिन्नता आदि का उपयोग करके प्रथम कोटी अवकल समीकरणों को हल कर सकते हैं। हम समरूप प्रथम-कोटी अवकल समीकरण $y'+yP(x)=0$ के अनुरूप एक विशेष हल $p(x)$ और एक व्यापक हल $g(x)$ निर्धारित कर सकते हैं और फिर गैर-समरूप प्रथम कोटी अवकल समीकरण $y'+yP(x)=Q(x)$का व्यापक हल $y(x)=p(x)+g(x)$ द्वारा दिया जाता है। आइए प्रत्येक विधि के अनुप्रयोग को समझने के लिए विभिन्न तरीकों का उपयोग करके कुछ उदाहरणों को हल करें।

पृथक करने योग्य प्रथम कोटी अवकल समीकरण

पृथक करने योग्य प्रथम कोटी अवकल समीकरण का व्यापक रूप $dy/dx=f(y)\cdot g(x)$ है। यहाँ हम समीकरण के दोनों पक्षों पर चरों को अलग कर सकते हैं, अर्थात $dy/dx=f(y)\cdot g(x)$ को चरों को अलग करके $dy/f(y)=g(x)dx$ के रूप में भी लिखा जा सकता है और फिर हम समाकलन द्वारा समीकरण को हल कर सकते हैं। आइए हम प्रथम कोटी अवकल समीकरण के एक उदाहरण पर विचार करें और चरों के पृथक्करण विधि द्वारा इसका हल खोजें।

उदाहरण: अवकल समीकरण $dy/dx=(5y+4)x$ पर विचार करें।

समीकरण में चर $y$ को बाएँ पक्ष पर तथा चर $x$ को दाएँ पक्ष पर रखते हुए, हम पाते हैं

$dy/dx=(5y+4)x$

$\Rightarrow dy/(5y+4)=xdx$

अब समीकरण के दोनों पक्षों को समाकलन करने पर, हमारे पास यह है

$\int dy/(5y+4)=\int xdx$

$\Rightarrow (1/5)\ln |5y+4|=x^{2}/2+C$

$\Rightarrow \ln |5y+4|=5(x^{2}/2+C)$

$\Rightarrow \ln |5y+4|=5x^{2}/2+5C)$

$\Rightarrow 5y+4=e^{5x^{2}/2}+5C$

$\Rightarrow y=\left({\frac {1}{5}}\right)[e^{5x^{2}/2}+5C-4]$

$\Rightarrow y=\left({\frac {1}{5}}\right)e^{5x^{2}/2}e^{5C}-4/5$

$\Rightarrow y=ke^{5x^{2}/2}-4/5$ , जहाँ $K=(1/5)e^{5C}$

अतः,$y=ke^{5x^{2}/2}-4/5$ प्रथम कोटि अवकल समीकरण $dy/dx=(5y+4)x$ का व्यापक हल है।

समाकलन कारकों का उपयोग करके प्रथम कोटी अवकल समीकरण हल करना

$dy/dx+yP(x)=Q(x)$के रूप का प्रथम कोटी अवकल समीकरण समाकलन कारक विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। हम अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात करने के लिए दिए गए चरणों का पालन कर सकते हैं:

चरण 1: प्रथम कोटी अवकल समीकरण को सरल बनाएँ और इसे $dy/dx+yP(x)=Q(x)$ के रूप में व्यक्त करें

चरण 2: $I.F.=e\int P(x)dx$ द्वारा दिया गया समाकलन कारक निर्धारित करें

चरण 3: अवकल समीकरण $dy/dx+yP(x)=Q(x)$ को $I.F.$ से गुणा करके $d(y\times I.F.)/dx=Q(x)\times I.F$. प्राप्त करें

चरण 4: अब समीकरण $d(y\times I.F.)/dx=Q(x)\times I.F$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें। व्यापक हल प्राप्त करने के लिए। आइए इसके अनुप्रयोग को समझने के लिए समाकलन कारक विधि का उपयोग करके प्रथम कोटी अवकल समीकरण को हल करें।

उदाहरण: अवकल समीकरण $xy'+3y=4x^{2}-3x$ पर विचार करें।

सबसे पहले, हम दिए गए प्रथम-कोटी अवकल समीकरण को $y'+yP(x)=Q(x)$ के रूप में लिखेंगे

$xy'+3y=4x_{2}-3x$ को $x$ से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है

$y'+(3/x)y=4x-3$

यहाँ $P(x)=3/x$ और $Q(x)=4x-3$

अब, समाकलन कारक $I.F.=e^{\int P(x)dx}=e^{\int (3/x)dx}=e^{3\ln x}=x^{3}$

प्रथम-कोटी अवकल समीकरण को $y'+(3/x)y=4x-3$ से $I.F.=x^{3},$गुणा करने पर, हमें प्राप्त

$x^{3}(y'+(3/x)y)=x^{3}(4x-3)$

$\Rightarrow x^{3}y'+3x^{2}y=4x^{4}-3x^{3}$

$\Rightarrow d(yx^{3})/dx=4x^{4}-3x^{3}$

समीकरण के दोनों पक्षों को $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$\Rightarrow \int [d(yx^{3})/dx]dx=\int (4x^{4}-3x^{3})dx$

$\Rightarrow yx^{3}=(4/5)x^{5}-(3/4)x^{4}+C$

$\Rightarrow y=(4/5)x^{2}-(3/4)x+Cx^{-3}$

इसलिए, प्रथम कोटी अवकल समीकरण $xy'+3y=4x^{2}-3x$ का व्यापक समाधान, समाकलन कारक विधि का उपयोग करते हुए $y=(4/5)x^{2}-(3/4)x+Cx^{-3}$ है।

प्रारंभिक मान समस्या प्रथम कोटी अवकल समीकरण

प्रथम कोटी प्रारंभिक मान समस्या अवकल समीकरण $F(x,y,y')=0$ तथा प्रारंभिक मान $y(x_{0})=y_{0}$के रूप का होता है, जहाँ$x_{0},x$का एक निश्चित मान है तथा $y_{0},y$ का संगत मान है तथा $(x_{0},y_{0})$ व्यापक हल $y(x)$ को संतुष्ट करता है। अवकल समीकरण का प्रारंभिक मान प्रथम-कोटी अवकल समीकरण का विशेष हल ज्ञात करने में सहायता करता है। आइए एक उदाहरण पर विचार करें कि प्रारंभिक मान का उपयोग करके अवकल समीकरण का हल कैसे निर्धारित किया जाए।

उदाहरण: प्रथम-कोटी अवकल समीकरण $y'=x^{2}+1,y(1)=4$ पर विचार करें

सबसे पहले, हम दिए गए अवकल समीकरण के व्यापक हल का मूल्यांकन करेंगे। हमारे पास $dy/dx=x^{2}+1$ है जिसे चरों को अलग करके हल किया जा सकता है।

$dy/dx=x^{2}+1$

$\Rightarrow dy=(x^{2}+1)dx$

समीकरण के दोनों पक्षों को समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$\int dy=\int (x^{2}+1)dx$

$\Rightarrow y=x^{3}/3+x+C,$जो दिए गए प्रथम कोटि अवकल समीकरण का व्यापक हल है।

हमारे पास $y(1)=4$ है। $C$ का मान निर्धारित करने के लिए इसे व्यापक हल में प्रतिस्थापित करें, और फिर विशेष हल प्राप्त करें।

$4=1^{3}/3+1+C$

$\Rightarrow C=4-1/3-1$

$=3-1/3$

$=8/3$

इसलिए $y=y=x^{3}/3+x+8/3$ प्रारंभिक मान समस्या अवकल समीकरण $y'=x^{2}+1,y(1)=4$ का विशेष हल है।

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

• प्रथम कोटी अवकल समीकरण के कुछ महत्वपूर्ण अनुप्रयोग न्यूटन के शीतलन नियम, वृद्धि और क्षय मॉडल और विद्युत परिपथों में हैं।
• प्रथम कोटी अवकल समीकरणों को चरों के पृथक्करण, समाकलन कारक और मापदंडों की भिन्नता विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है।