सदिशों की समानता

चूंकि दोनों सदिश A और सदिश B के दशा और परिमाण एक से हैं,इसी लीए दोनों सादिशों को समान सदिश समझा जा सकता है ।

Equality of vectors

गणित में, सदिशों की समानता उनके संगत घटकों या तत्वों की तुलना करके निर्धारित की जाती है। दो सदिशों को समान तभी माना जाता है जब उनके सभी संगत घटक समान हों।

N-विमीय (आयामी) समष्टि (अंतरिक्ष) में दो सादिश , A और B पर विचार करने पर :

A = [a1, b2, b3, ..., an]

B = [b1, b2, b3, ..., bn]

यह जांचने के लिए कि क्या A और B बराबर हैं, यह सत्यापित करना होता है कि a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3, और इसी तरह, an = bn तक। यदि A और B के सभी घटक समान हैं, तो यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि A = B.

उदाहरण के लिए

,दो 3-विमीय सादिश की तुलना करने पर :

A = [2, 4, 6]

B = [2, 4, 6]

इस स्थिति में, A और B के सभी संगत घटक समान हैं, इसलिए कहा जा सकता है कि A = B.

हालाँकि, यदि :

A = [2, 4, 6]

C= [2, 4, 8]

यहां, A और C के तीसरे घटक बराबर नहीं हैं (6 ≠ 8), इसलिए A और C बराबर नहीं हैं।

ध्यान रहे

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि समानता के लिए तुलना करने के लिए सादिश के आयाम समान होने चाहिए। यदि सादिश के आयाम भिन्न भिन्न हैं, तो उन्हें स्वतः रूप से असमान माना जाता है।

भौतिकी में, सदिशों की समानता उनके परिमाण और दिशा दोनों से निर्धारित होती है। दूसरे शब्दों में, दो सादिशों को समान माना जाता है यदि उनका परिमाण और दिशा समान हो, भले ही अंतरिक्ष में उनके आरंभिक बिंदु या स्थिति कुछ भी हो।

गणितीय शब्दों मे

यदि दो सदिश A और B बराबर हैं, तो इसका अर्थ है कि |A| = |B| (उनके परिमाण समान हैं) और वे एक ही दिशा की ओर इंगित करते हैं।

उदाहरण के लिए

मान लें कि पास भौतिकी में दो विस्थापन सादिश हैं:

A = 5 मीटर, पूर्व

B = 5 मीटर, पूर्व

यहां, दोनों सादिशों का परिमाण समान (5 मीटर) है और वे एक ही दिशा (पूर्व) में इंगित करते हैं, इसलिए कहा जा सकता है कि A = B।

हालाँकि, यदि हमारे पास:

A = 5 मीटर, पूर्व

C = 5 मीटर, पश्चिम

यहां, भले ही A और C का परिमाण समान है (दोनों 5 मीटर), वे विपरीत दिशाओं (पूर्व और पश्चिम) की ओर इंगित करते हैं। इसलिए, A और C समान नहीं हैं।

संक्षेप में

भौतिकी में, सादिश को प्रायः रेखाचित्रण में तीर के रूप में दर्शाया जाता है, जहां तीर की लंबाई परिमाण का प्रतिनिधित्व करती है, और तीर की दिशा सादिश की दिशा का प्रतिनिधित्व करती है। सदिशों की समानता निर्धारित करने के लिए, उनके परिमाण और दिशाओं दोनों की तुलना करके देख कर ही यह निर्धारित कीया जा सकता है की वे समान सादिश मेल खाते हैं या नहीं ।