सम्मिश्र संख्या का मापांक और संयुग्मी

एक सम्मिश्र संख्या का मापांक आर्गंड तल में मूल बिंदु से सम्मिश्र संख्या की दूरी बताता है, जबकि सम्मिश्र संख्या का संयुग्म, आर्गंड तल में वास्तविक अक्ष के बारे में सम्मिश्र संख्या का प्रतिबिंब देता है।

चित्र 1- सम्मिश्र संख्या का संयुग्म

सम्मिश्र संख्या का संयुग्म

सम्मिश्र संख्या $z=x+iy$ का निरूपणऔर इसका संयुग्म ${\overline {z}}=x-iy$ आर्गंड तल में क्रमशः बिंदु $P(x,y)$ और $Q(x,-y)$ हैं

ज्यामितीय रूप से, बिंदु $(x,-y)$ वास्तविक अक्ष पर बिंदु $(x,y)$ की दर्पण प्रतिबिम्ब/छवि है (चित्र 1)। यहां $XX$ वास्तविक अक्ष है।

उदाहरण

${\frac {(3-2i)(2+3i)}{(1+2i)(2-i)}}$ का संयुग्म ज्ञात कीजिए

${\frac {(3-2i)(2+3i)}{(1+2i)(2-i)}}$

$={\frac {(6+9i-4i-6i^{2})}{(2-i+4i-2i^{2})}}$ $={\frac {(6+5i-6(-1))}{(2+3i-2(-1))}}$

$={\frac {(6+5i+6)}{(2+3i+2)}}$ $={\frac {(12+5i)}{(4+3i)}}$ $={\frac {(12+5i)}{(4+3i)}}\times {\frac {(4-3i)}{(4-3i)}}$

$={\frac {(48-36i+20i-15i^{2})}{(16-9i^{2})}}$ $={\frac {(48-36i+20i-15i^{2})}{(16-9i^{2})}}$ $={\frac {63-16i}{25}}$ $={\frac {63}{25}}-{\frac {16i}{25}}$

उत्तर: ${\frac {(3-2i)(2+3i)}{(1+2i)(2-i)}}$ $={\frac {63}{25}}+{\frac {16i}{25}}$ का संयुग्म

सम्मिश्र संख्या के संयुग्म के गुण

• ${\overline {z_{1}z_{2}}}={\overline {z_{1}}}\ {\overline {z_{2}}}$
• ${\overline {z_{1}\pm z_{2}}}={\overline {z_{1}}}\pm {\overline {z_{2}}}$
• ${\overline {\left[{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right]}}={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{2}}}}$ अगर $z_{2}\neq 0$

चित्र 2-सम्मिश्र संख्या का मापांक

सम्मिश्र संख्या का मापांक

आर्गंड तल में, सम्मिश्र संख्या $z=x+iy$ का मापांक $\left\vert z\right\vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ है, सम्मिश्र संख्या $z$ का निरूपण करने वाले बिंदुओं $P(x,y)$ और मूल बिंदु को दर्शाने वाले $O(0,0)$ के बीच की दूरी है (चित्र 2)।

उदाहरण

सम्मिश्र संख्या ${\frac {3-2i}{2i}}$ का मापांक ज्ञात कीजिए

${\frac {3-2i}{2i}}$

$={\frac {3}{2i}}-{\frac {2i}{2i}}$ $={\frac {3}{2i}}-1$ $={\frac {3}{2i}}\times {\frac {i}{i}}-1$

$={\frac {3i}{2i^{2}}}-1$ $={\frac {3i}{2(-1)}}-1$ $=-1+\left[-{\frac {3i}{2}}\right]$

$\left\vert z\right\vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

$={\sqrt {(-1)^{2}+\left[-{\frac {3}{2}}\right]^{2}}}$ $={\sqrt {1+{\frac {9}{4}}}}$

$={\sqrt {\frac {4+9}{4}}}$ $={\sqrt {\frac {13}{4}}}$

$\left\vert z\right\vert ={\frac {\sqrt {13}}{2}}$

सम्मिश्र संख्या का गुणनात्मक प्रतिलोम

गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या $z=x+iy$ का गुणनात्मक प्रतिलोम इस प्रकार द्वारा दिया जाता है

$z^{-1}={\frac {1}{x+iy}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+i{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {\overline {z}}{\left\vert z\right\vert ^{2}}}$

या $z{\overline {z}}={\left\vert z\right\vert ^{2}}$

सम्मिश्र संख्या के मापांक के गुण

• $\left\vert z_{1}z_{2}\right\vert =\left\vert z_{1}\right\vert \left\vert z_{2}\right\vert$
• $\left\vert {\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right\vert ={\frac {\left\vert z_{1}\right\vert }{\left\vert z_{2}\right\vert }}$ अगर $\left\vert z_{2}\right\vert \neq 0$