रेखा के दिक्-कोज्या व दिक्- अनुपात

दिक्- कोज्या ,त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखा द्वारा क्रमशः $x$-अक्ष, $y$-अक्ष, $z$-अक्ष के साथ बनाए गए कोण का कोज्या है। दिक्- कोज्या की गणना त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या एक सरल रेखा के लिए की जा सकती है। यह त्रि- अक्षों के साथ रेखा द्वारा बनाए गए कोण का कोज्या है।

दिक्-अनुपात तीन अक्षों, $x$-अक्ष, $y$-अक्ष और $z$-अक्ष के संदर्भ में एक रेखा या सदिश के घटकों को जानने में सहायता करता है। एक सदिश ${\overrightarrow {A}}=a{\overset {\frown }{i}}+b{\overset {\frown }{j}}+c{\overset {\frown }{k}}$ के लिए दिक्- अनुपात क्रमशः$a,b$ और $c$ हैं। दिक्- अनुपात, दिक्- कोज्या , दो रेखाओं के बीच का कोण या दो सदिशों का डॉट गुणनफल ज्ञात करने में सहायता करते हैं।

आइए दिक्- कोज्या, दिक्- अनुपात , दिक्- कोज्या के साथ दिक्- अनुपात के संबंध और दिक्- अनुपातों के उपयोगों और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के दिक्- कोज्या के बारे में अधिक जानें।

दिक्-कोज्या

दिक्- कोज्या परिभाषा

दिक्- कोज्या, त्रि- आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या रेखा का संबंध त्रि- अक्षों में से प्रत्येक के साथ देता है। दिक्- कोज्या इस रेखा द्वारा क्रमशः $x$-अक्ष, $y$-अक्ष और $z$-अक्ष के साथ अंतरित कोण का कोज्या है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण $\alpha$, $\beta$और $\gamma$ हैं, तो दिक्- कोज्या क्रमशः $Cos\alpha ,Cos\beta ,Cos\gamma$ हैं।

एक सदिश ${\overrightarrow {A}}=a{\overset {\frown }{i}}+b{\overset {\frown }{j}}+c{\overset {\frown }{k}}$ के लिए दिक्- कोज्या $Cos\alpha ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\ Cos\beta ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\ Cos\gamma ={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

हैं।

दिक्- कोज्या को $l,m,n$ द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम प्रायः दिक्- कोज्या को इस प्रकार दर्शाते हैं $l={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},m={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},n={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$ l त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु $A(a,b,c)$के लिए दिक्- कोज्या इस बिंदु को मूल $O$ से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोज्या है। रेखा $OA$ की दिक्- कोज्या है l $l={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},m={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},n={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

दिक्-अनुपात परिभाषा

दिक्- अनुपात क्रमशः $x$-अक्ष, $y$-अक्ष, $z$-अक्ष के साथ एक सदिश के घटक होते हैं। एक सदिश के दिक्- अनुपात ${\overrightarrow {A}}=a{\overset {\frown }{i}}+b{\overset {\frown }{j}}+c{\overset {\frown }{k}}$ क्रमशः $(a,b,c)$ हैं, और ये मान क्रमशः $x$-अक्ष, $y$-अक्ष और $z$-अक्ष के साथ सदिश के घटक मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं। दिक्- अनुपात की संख्या अंतरिक्ष के आयाम पर निर्भर करती है। द्वि-आयामी अंतरिक्ष में एक रेखा के लिए, दो दिक्- अनुपात होते हैं, और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक रेखा के लिए, तीन दिक्- अनुपात होते हैं।

सदिश: ${\overrightarrow {A}}=a{\overset {\frown }{i}}+b{\overset {\frown }{j}}+c{\overset {\frown }{k}}$

दिक्-अनुपात: $a,b,c$

दो बिंदुओं $(x_{1},y_{1},z_{1})$ और $(x_{2},y_{2},z_{2})$ को जोड़ने वाली एक सदिश रेखा के दिक्- अनुपात $(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})$ हैं। दिक्- अनुपात किसी रेखा की दिक्- कोज्या ज्ञात करने के लिए उपयोगी होते हैं। किसी दी गई रेखा के लिए दिक्- अनुपातों का एक अनंत समुच्चय हो सकता है, और दो समानांतर रेखाओं के दिक्- अनुपात समानुपात में होते हैं।

दिक्- अनुपात का उपयोग

दिक्- अनुपात का उपयोग दो सदिशों की तुलना करने के लिए किया जाता है। दो समांतर सदिशों के दिक्- अनुपात समानुपात में होते हैं। दो सदिशों ${\overrightarrow {A}}=a_{1}{\overset {\frown }{i}}+b_{1}{\overset {\frown }{j}}+c_{1}{\overset {\frown }{k}},\ a_{2}{\overset {\frown }{i}}+b_{2}{\overset {\frown }{j}}+c_{2}{\overset {\frown }{k}},$, के लिए दिक्- अनुपात ${\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {b_{1}}{b_{2}}}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}$ हैं।

दिक्- अनुपात दो सदिशों का डॉट गुणनफल ज्ञात करने के लिए उपयोगी है। दो सदिशों का डॉट गुणनफल दो सदिशों के संबंधित दिक्- अनुपातों के गुणनफल का योग है। दो सदिशों ${\overrightarrow {A}}=a_{1}{\overset {\frown }{i}}+b_{1}{\overset {\frown }{j}}+c_{1}{\overset {\frown }{k}},\ a_{2}{\overset {\frown }{i}}+b_{2}{\overset {\frown }{j}}+c_{2}{\overset {\frown }{k}},$ के लिए सदिशों का डॉट गुणनफल ${\overrightarrow {A}}\cdot {\overrightarrow {B}}=a_{1}\cdot a_{2}+b_{1}\cdot b_{2}+c_{1}\cdot c_{2}$ है।

दिक्- अनुपात दो सदिशों के बीच के कोण को ज्ञात करने में सहायक है। दो सदिशों के बीच के कोण के $cos$ की गणना दो सदिशों के डॉट गुणनफल को लेकर और उसे दो सदिशों के परिमाण के गुणनफल से विभाजित करके आसानी से की जा सकती है। दो सदिशों ${\overrightarrow {A}}=a_{1}{\overset {\frown }{i}}+b_{1}{\overset {\frown }{j}}+c_{1}{\overset {\frown }{k}},\ a_{2}{\overset {\frown }{i}}+b_{2}{\overset {\frown }{j}}+c_{2}{\overset {\frown }{k}},$ के लिए दो सदिशों के बीच का कोण $Cos\theta ={\frac {a_{1}\cdot a_{2}+b1\cdot b_{2}+c_{1}\cdot c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}$है।

दिक्- अनुपात और दिक्- कोज्या के बीच संबंध

दिक्- अनुपात एक रेखा की दिक्- कोज्या ज्ञात करने में सहायता करते हैं। दिक्- कोज्या इस रेखा द्वारा क्रमशः $x$-अक्ष, $y$-अक्ष और $z$-अक्ष के साथ अंतरित कोण की कोज्या है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण $\alpha$, $\beta$और $\gamma$ हैं, तो दिक्- कोज्या क्रमशः $Cos\alpha ,Cos\beta ,Cos\gamma$ हैं।

दिक्- अनुपात $a,b,c$ वाले सदिश ${\overrightarrow {A}}=a{\overset {\frown }{i}}+b{\overset {\frown }{j}}+c{\overset {\frown }{k}}$ के लिए दिक्- कोज्या $Cos\alpha ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\ Cos\beta ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\ Cos\gamma ={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$ है।

दिक्- कोज्या को $l,m,n$ द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम अक्सर दिक्- कोज्या को l$l={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},m={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},n={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$ के रूप में दर्शाते हैं।

यहाँ हमl$l=Cos\alpha ,m=Cos\beta ,n=Cos\gamma$ मानते हैं। इसलिए हमारे पास दिक्- कोज्या के बीच संबंध $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ है।

उदाहरण

उदाहरण 1: बिंदु $(-4,2,3)$ को मूल बिंदु से मिलाने वाली रेखा की दिक्- कोज्या ज्ञात करें।

समाधान:

मूल बिंदु $(0,0,0)$और बिंदु $(-4,2,3)$ को मिलाने वाली रेखा के लिए दिक्- अनुपात $-4,2,3$ हैं।

रेखा का परिमाण $={\sqrt {(-4)^{2}+2^{2}+3^{2})}}={\sqrt {29}}$

इसलिए दिक्- कोज्या $(-4/{\sqrt {29}},2/{\sqrt {29}},3/{\sqrt {29}})$ हैं।

इसलिए दिक्- कोज्या $(-4/{\sqrt {29}},2/{\sqrt {29}},3/{\sqrt {29}})$ हैं।

उदाहरण 2: किसी बिंदु के स्थिति सदिश का दिक्- अनुपात ज्ञात करें ${\overrightarrow {OA}}=4{\overset {\frown }{i}}-3{\overset {\frown }{j}}+2{\overset {\frown }{k}}$

समाधान:

दिया गया सदिश ${\overrightarrow {OA}}=4{\overset {\frown }{i}}-3{\overset {\frown }{j}}+2{\overset {\frown }{k}}$ है ।

दिक्- अनुपात$=(4,-3,2)$